Notices by まげ店長 (magemanager@mathtod.online), page 2

#類体論へ到る道
シュタイニツの定理は今週末にはなんとか

そうか。業務課題のモデリング、普通にリーマン積分みたいなの（四角を横に並べる）のと縦に積むのとシンプルな物を2つ考えれば良いのか。。。全期間に渡る一律な薄長い四角形（縦に積む）と、各時系列毎の縦に薄長い四角形（横に並べる）の2種類。それを、時系列で見ると曲線で変化する仕事量に対して面積を近似させれば良い。

#類体論へ至る道
①←②：
$Ω$係数の既約多項式$p(X)$をとり、
　$Ω’=Ω(X)/(p)$
を考えると$Ω’$は$Ω$の拡大体であり
$α$を$X$の同値類とすると$p$の根である。

$p$の係数たちは$Ω$に属しているが、
②より$K$上代数的なので
全てを合わせた有限次拡大$L$が取れ
$α$は$L$上代数的、
よって$K$上代数的となる。

そこで$K$係数の多項式$q(X)$がとれて
　$q(α)=0$
となり、②から
$K$係数の多項式は$Ω$係数の
一次多項式の積に分解されるので
$∴α \in Ω$となり①が示される。
（証明終）

@mathmathniconico
#類体論へ至る道
P186補題 （2校）
$Ω/K$を代数拡大とする。
$Ω$が代数的に閉じている…①
ためには、
$Ω$がすべての$K$係数多項式の分解体
となっている…②
事が必要十分である。

（証明）
　$φ:K→Ω$
　$Ω=K[X]/(p)$
$p(x)$は$Ω$上で既約な多項式とする。

$φ$はP183定理12.2より単射であり、
環の準同型写像$R→R/I$より全射、
よって同型である。
　$K\cong Ω$

①→②：
P185例題で用いた補題2,3より明らか。
補題2
“$K$上代数的な有限個の元$β_1,…,β_m$
　を$K$に添加した体は
　$K$上有限次拡大である。”
補題3
“$[L:K] < ∞$であれば、
　$L$は$K$上代数的である。”

#類体論へ至る道
復習すると
P185例題
　Lで代数的→Kでも代数的
P186補題
　Kで代数的→Lでも代数的
　よって⇄とも言える。
規則に煩い環論に比べると体論はフワッとしてる。。。

@mathmathniconico
つまりA→Bが自明で、
証明はB→Aが対象だったんですね。
解釈を逆に読んでました。
※表記が難しい。。。

金曜日に一生懸命、業務上でどうしても解かないとならない課題を最適化問題に落とし込む方法、モデリングをしていましたが答えは出せず。どうしても述語論理になってしまって、それでは線形問題に落とし込めないのです。何の条件を緩めれば良いのか、土日で考えていましたが漸く命題論理になりました。

特に「流れの最大圧問題＝全行程を処理するのに必要な時間」だと理解したのは割と最近です。いわゆる「クリティカルパス」になるのかな？？？

業務上で便利だったからグラフ理論の流れに関する定理、結果は25年間使ってるけど一度も証明は読んでません。
・最大流
・コスト最小最大流
・最短経路
・下限制約付き最大流が双対問題になる などなど
応用数学の”ユーザー“はそんなもんかもしれませんが。
#証明追ったことない定理激白

#類体論へ至る道
補題
$I$を環$R$のイデアルとする。
$R$の元$a$に対して、
$a$を含む$R/I$の剰余類$\overline{a}$を対応させると
これは環$R$から$R/I$への環の全準同型写像である。
（証明）
$π(a)=\overline{a} $とおくと
$π(a+b)=\overline{a+b}$
　$=\overline{a}+\overline{b}$
　$=π(a)+π(b)$

$π(ab)=\overline{ab}$
　$=\overline{a}\overline{b}$
　$=π(a)π(b)$
よって$π$は準同型写像

また剰余環$R/I$の任意の元$y$は
　$y=\overline{a},(a \in R)$
と表されるので
　$π(a)=\overline{a}=y$
となり全射である。
（証明終）

#類体論へ至る道
次に$f_1(X)$の既約な因数をとり
$Ω$の拡大体$Ω’$をとると、同様に
　$f_1(X)=(X-α_2)f_2(X)$
　$f_2(X) \in Ω’$
となりこれを続けると
　$f(X)=a(X-α_1)(X-α_2)…$
　　$(X-α_n)$
　$(α \in K$の拡大体$)$
となり
$Ω(α_1,α_2,…,α_n)$を
$f(X)$の$K$上の分解体という
（証明終）

#類体論へ至る道
①→②：
P185定理12.2より
$p(x)=0$の根$α_1$を$Ω$に添加して
$Ω’$とする事ができる。
　$Ω’\cong Ω[X]/(p)$

P185例題より
$α_1$は$Ω$上代数的なので
$Ω$は$K$上代数的であり、
$α_1$は$K$上代数的である。
よって
$α_1$は$K[X]$の多項式$p(X)$の零点となっている。
　$p(α_1)=0$

そこで$Ω$内の多項式として
　$p(X)=(X-α_1)q_1(X)$
　$f(X)=(X-α_1)f_1(X)$
　$f_1(X)\in Ω[X]$
となる。

#類体論へ至る道
（証明）
$Ω$を$K$の拡大体と解釈すると、
P183定理12.2より
　$φ:K→Ω$
　$Ω=K[X]/(p)$
　$p(x)$は$Ω$上で既約な多項式。
は単射準同型。
補題より、$φ$は全射準同型。
よって$φ$は同型。…③
③より
$K$は$Ω$に含まれてると考えて良く
更に$K$上の多項式$p(X)$は
$Ω$の部分体で考えた$K$上の多項式
と考えて良い。

①←②：
①②の定義より明らか。

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#類体論へ至る道
P186 補題
$Ω/K$を代数拡大とする。
$Ω$が代数的に閉じているためには、
$Ω$がすべての$K$係数多項式の分解体
となっている事が必要十分である。

（定義）
体$L$が代数的に閉じている…①：
任意の$f(X) \in L[X]$が$L$において1次式に分解されること。

分解体…②：
$K$を体とし、
$f(X) \in K[X]$とする。
$f(X)$がそこでは1次式に分解されるような$K$の拡大体が存在する。
このような体を$f(X)$の分解体と言う。

今回買ったメルカリ出品者、娘が使った教科書らしいんですが「殆ど新品」がずらっと並んでます。「体とガロア理論」もそうなんですが、2セットずつ出品されていて娘2人？それもこの本は数学科でないと買わないと思うんですが。。。凄い出費しましたね、と声を掛けてあげたい感じです。

藤崎源二郎「体とガロア理論」を読んでみたかったのでメルカリで買いました。Amazon新刊は8,560円。これは半年待たないと買えません。

#類体論へ至る道
補題3
$[L:K] < ∞$であれば、
$L$は$K$上代数的である。…②

（証明）
$[L:K]=n$とする。
$α( \in L)$に対してその冪の集合
　$\{1,α,α^2,…,α^n\}$
を考えると
これは$n+1$個の要素を持っているので
$K$上1次従属でなければならない。
したがって
　$a_0+a_1α+a_2α^2+…$
　　$+a_nα^n=0$
を満たす。

少なくとも一つは$0$でない
　$a_0,a_1,…,a_n( \in K)$
が存在する筈なので、これは$α$が
$K$上代数的であることを示している。
よって②が示される。
（証明終）

#類体論へ至る道
補題2
$K$上代数的な有限個の元$β_1,…,β_m$
を$K$に添加した体は
$K$上有限次拡大である。

（証明）
$K_{j+1}=K_j(β_{j+1})$とおく。
$(K_0=K)$
各々の$j$に対して
　$[K_{j+1}:K_j] < ∞$
なので
　$[K_m:K]$
　$=[K_m:K_{m-1}]…[K_1:K]$
　 $< ∞$
（証明終）

#類体論へ至る道
補題1
$K\subset M \subset L$を体の昇鎖とする。
$M$が$K$上代数的で、
$L$が$M$上代数的ならば、
$L$は$K$上代数的である。…①

（証明）
$α$を$L$の元とすると、$α$は$M$上代数的なので、ある$m$に対して
　$α^m+β_1α^{m-1}+…+β_m=0$
を満たす
　$β_1,…,β_m( \in M)$
が存在する。

$M_0=K(β_1,…,β_m)$とおくと
補題2より$M_0$は$K$上有限次である。
ゆえに体の拡大次数の連鎖律によって
$M_0(α)$も$K$上有限次である。
したがって補題3より
$K$上代数的である。
ゆえに
$α$は$K$上代数的である。
よって①が示される。
（証明終）

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#類体論へ至る道
P185 例題
$\mathbb{Q}$上代数的な数全体のなす$\overline{\mathbb{Q}}$は代数的に閉じている事を示す。

（証明）
$\overline{\mathbb{Q}}$上代数的な元$α$は補題1によって
$\mathbb{Q}$上でも代数的である。
よって$α \in \overline{\mathbb{Q}}$
つまり$\overline{\mathbb{Q}}$は代数的に閉じている。
（証明終）