Notices by まげ店長 (magemanager@mathtod.online), page 3

TeXも深いですね。良いエディターがあれば良いのですがMac壊れて以来、旧型iPadのみでやっているので。（古すぎてアプリがほぼ未対応で）
※逆に言うと、仕事はともかく家ではオンボロiPad（iOSバージョンアップ対象外）でもなんとかなる、と。

#類体論へ至る道
補題2
$f$を群$G$から群$G‘$への準同型写像とする。このとき、$f$が単射となるための必要十分条件は
　$ker f=\{e\}$
　$(e$は$G$の単位元$)$
となる事である。

（証明）
単射→$ker f=\{e\}$:
$a \in ker f$とすると $f(a)=e’$
P108問題3より　　 $f(e)=e’$
∴　　　　　　　　 $f(a)=f(e)$
$f$は単射という仮定より$a=e$
よって$ker f \subset \{e\}$
　　∴ $ker f=\{e\}$
←：
$a,b \in G$について$f(a)=f(b)$と仮定する。この式の両辺に$f(b)$の逆元$f(b)^{-1} \in G$を右側から掛けると
　$f(a)f(b)^{-1}=e’$
P108問題4より
　$f(a)f(b^{-1})=e’$
$f$は準同型なので
　$f(ab^{-1})=e’$
仮定より
　$ab^{-1} \in ker f=\{e\}$
∴ $ab^{-1}=e$
∴ $a=b$
（証明終）

#類体論へ至る道
補題1
$R$と$R’$を環とし、$f$を$R$から$R’$への環の準同型写像とする。このとき$f$が単射である為の必要十分条件は
　$ker f=(0)$

（証明）
環の準同型写像$f$は加法に関して加群の準同型写像と見ることが出来る。
すると補題2より写像$f$が単射であるための必要十分条件は
　$ker f=(0)$
（証明終）

#類体論へ至る道
写像$φ:K→L$を
$K$の元$α$に定数多項式$α$の属する類
　$\overline{α}=α (\mod f)$
と対応させる事で定義すれば、
　$a,b \in K$に対して
　$φ(a+b)=\overline{a+b}$
　$=\overline{a}+\overline{b}$
　$=φ(a)+φ(b)$

　$φ(ab)=\overline{ab}$
　$=\overline{a}\overline{b}$
　$=φ(a)φ(b)$

　$φ(1_K)=1_L$
よって準同型写像。

①より$φ$の$Ker$は$K$の極大イデアルなので$Ker=0$または$K$
$K$は体で$0$以外は可逆なので
単位元の$1_K\neq 0$
$φ(1_K)=1_L\neq 0$なので
　∴$Ker \neq K$
　∴$Ker = 0$
よって補題1より$φ$は
単射準同型（中への同型写像）である。

@mathmathniconico
#類体論へ至る道
P183 定理12.2
$K$を体とし、$f \in K[X]$を$K$上で既約な多項式とすると
　$L=K(θ),f(θ)=0$
　$[L,K]=\deg f$
なる$K$の拡大体が存在する。

（証明）
剰余環$K[X]/(f)$を作る。
仮定より$f(X)$が既約であり
P67 5行目より
$f(X)$が既約である事と、
$(f)$が極大イデアルである事は同値。
…①
よってP64定理4.7より
$K[X]/(f)$は体となる。
この体を$L$と書く。

こんな本も有るみたいですね。私はユーザーで充分ですが。

数学ソフトウェアの作り方 - 共立出版
https://www.kyoritsu-pub.co.jp/book/b10018289.html

これまた絶版で古本屋でも見ませんが、位相の問題をPrologで解くという本があり「あれってそういう風に解釈できるんだ。そうか」と逆に驚いた事があります。あの計算自体はPrologではごくごく普通なんですが、それをそういう意味に置き換えるのは凄いな、と。

「笑わない数学」をカミさんと見る。“無限”の回で、「自然数の無限と偶数の無限では、個数は一緒じゃ無い。当たり前でしょ」と言ってたのには驚いた。全然数学はやらないのに。
※四色問題の回は途中で寝落ちしたが。さすがに興味無いか