まげ店長
@mathmathniconico
#類体論へ至る道
P183 定理12.2
$K$を体とし、$f \in K[X]$を$K$上で既約な多項式とすると
$L=K(θ),f(θ)=0$
$[L,K]=\deg f$
なる$K$の拡大体が存在する。
（証明）
剰余環$K[X]/(f)$を作る。
仮定より$f(X)$が既約であり
P67 5行目より
$f(X)$が既約である事と、
$(f)$が極大イデアルである事は同値。
…①
よってP64定理4.7より
$K[X]/(f)$は体となる。
この体を$L$と書く。
まげ店長
#類体論へ至る道
写像$φ:K→L$を
$K$の元$α$に定数多項式$α$の属する類
$\overline{α}=α (\mod f)$
と対応させる事で定義すれば、
$a,b \in K$に対して
$φ(a+b)=\overline{a+b}$
$=\overline{a}+\overline{b}$
$=φ(a)+φ(b)$
$φ(ab)=\overline{ab}$
$=\overline{a}\overline{b}$
$=φ(a)φ(b)$
$φ(1_K)=1_L$
よって準同型写像。
①より$φ$の$Ker$は$K$の極大イデアルなので$Ker=0$または$K$
$K$は体で$0$以外は可逆なので
単位元の$1_K\neq 0$
$φ(1_K)=1_L\neq 0$なので
∴$Ker \neq K$
∴$Ker = 0$
よって補題1より$φ$は
単射準同型（中への同型写像）である。
$\mathscr{N}_{yoho}$
@MageManager modはpmodとかおすすめです。かっこも書かなくていいですし、かっこのスペーシングもかっこよくなります。
$a (\mod n)$
↓
$a \pmod n$
$\mathscr{N}_{yoho}$
@MageManager TeXでは、カーネルは $ker$ ではなく $\ker$ を使われるといいと思います。 $ker$ だと $k$ かける $e$ かける $r$ と区別できないので。
まげ店長
#類体論へ至る道
補題1
$R$と$R’$を環とし、$f$を$R$から$R’$への環の準同型写像とする。このとき$f$が単射である為の必要十分条件は
$ker f=(0)$
（証明）
環の準同型写像$f$は加法に関して加群の準同型写像と見ることが出来る。
すると補題2より写像$f$が単射であるための必要十分条件は
$ker f=(0)$
（証明終）
まげ店長
#類体論へ至る道
補題2
$f$を群$G$から群$G‘$への準同型写像とする。このとき、$f$が単射となるための必要十分条件は
$ker f=\{e\}$
$(e$は$G$の単位元$)$
となる事である。
（証明）
単射→$ker f=\{e\}$:
$a \in ker f$とすると $f(a)=e’$
P108問題3より $f(e)=e’$
∴ $f(a)=f(e)$
$f$は単射という仮定より$a=e$
よって$ker f \subset \{e\}$
∴ $ker f=\{e\}$
←：
$a,b \in G$について$f(a)=f(b)$と仮定する。この式の両辺に$f(b)$の逆元$f(b)^{-1} \in G$を右側から掛けると
$f(a)f(b)^{-1}=e’$
P108問題4より
$f(a)f(b^{-1})=e’$
$f$は準同型なので
$f(ab^{-1})=e’$
仮定より
$ab^{-1} \in ker f=\{e\}$
∴ $ab^{-1}=e$
∴ $a=b$
（証明終）
まげ店長
TeXも深いですね。良いエディターがあれば良いのですがMac壊れて以来、旧型iPadのみでやっているので。（古すぎてアプリがほぼ未対応で）
※逆に言うと、仕事はともかく家ではオンボロiPad（iOSバージョンアップ対象外）でもなんとかなる、と。
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