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#類体論へ至る道
補題
$I$を環$R$のイデアルとする。
$R$の元$a$に対して、
$a$を含む$R/I$の剰余類$\overline{a}$を対応させると
これは環$R$から$R/I$への環の全準同型写像である。
（証明）
$π(a)=\overline{a} $とおくと
$π(a+b)=\overline{a+b}$
　$=\overline{a}+\overline{b}$
　$=π(a)+π(b)$

$π(ab)=\overline{ab}$
　$=\overline{a}\overline{b}$
　$=π(a)π(b)$
よって$π$は準同型写像

また剰余環$R/I$の任意の元$y$は
　$y=\overline{a},(a \in R)$
と表されるので
　$π(a)=\overline{a}=y$
となり全射である。
（証明終）