まげ店長
@mathmathniconico
#類体論へ至る道
P186 補題
$Ω/K$を代数拡大とする。
$Ω$が代数的に閉じているためには、
$Ω$がすべての$K$係数多項式の分解体
となっている事が必要十分である。
（定義）
体$L$が代数的に閉じている…①：
任意の$f(X) \in L[X]$が$L$において1次式に分解されること。
分解体…②：
$K$を体とし、
$f(X) \in K[X]$とする。
$f(X)$がそこでは1次式に分解されるような$K$の拡大体が存在する。
このような体を$f(X)$の分解体と言う。
まげ店長
#類体論へ至る道
（証明）
$Ω$を$K$の拡大体と解釈すると、
P183定理12.2より
$φ:K→Ω$
$Ω=K[X]/(p)$
$p(x)$は$Ω$上で既約な多項式。
は単射準同型。
補題より、$φ$は全射準同型。
よって$φ$は同型。…③
③より
$K$は$Ω$に含まれてると考えて良く
更に$K$上の多項式$p(X)$は
$Ω$の部分体で考えた$K$上の多項式
と考えて良い。
①←②：
①②の定義より明らか。
まげ店長
#類体論へ至る道
①→②：
P185定理12.2より
$p(x)=0$の根$α_1$を$Ω$に添加して
$Ω’$とする事ができる。
$Ω’\cong Ω[X]/(p)$
P185例題より
$α_1$は$Ω$上代数的なので
$Ω$は$K$上代数的であり、
$α_1$は$K$上代数的である。
よって
$α_1$は$K[X]$の多項式$p(X)$の零点となっている。
$p(α_1)=0$
そこで$Ω$内の多項式として
$p(X)=(X-α_1)q_1(X)$
$f(X)=(X-α_1)f_1(X)$
$f_1(X)\in Ω[X]$
となる。
まげ店長
#類体論へ至る道
次に$f_1(X)$の既約な因数をとり
$Ω$の拡大体$Ω’$をとると、同様に
$f_1(X)=(X-α_2)f_2(X)$
$f_2(X) \in Ω’$
となりこれを続けると
$f(X)=a(X-α_1)(X-α_2)…$
$(X-α_n)$
$(α \in K$の拡大体$)$
となり
$Ω(α_1,α_2,…,α_n)$を
$f(X)$の$K$上の分解体という
（証明終）
まげ店長
#類体論へ至る道
補題
$I$を環$R$のイデアルとする。
$R$の元$a$に対して、
$a$を含む$R/I$の剰余類$\overline{a}$を対応させると
これは環$R$から$R/I$への環の全準同型写像である。
（証明）
$π(a)=\overline{a} $とおくと
$π(a+b)=\overline{a+b}$
$=\overline{a}+\overline{b}$
$=π(a)+π(b)$
$π(ab)=\overline{ab}$
$=\overline{a}\overline{b}$
$=π(a)π(b)$
よって$π$は準同型写像
また剰余環$R/I$の任意の元$y$は
$y=\overline{a},(a \in R)$
と表されるので
$π(a)=\overline{a}=y$
となり全射である。
（証明終）
表示名
@MageManager
＞ $\Omega$は$K$の拡大体と解釈すると…
の部分はナンセンスです。$\Omega/K$が代数拡大ということは拡大体です
証明中の①②の付け方が上の定義と被っていて混乱しますが、次の二つの同値性が補題の主張です。
(A) $\Omega$係数の多項式が、$\Omega$係数の一次多項式の積に分解される。（代数的に閉じている）
(B) $K$係数の多項式が、$\Omega$係数の一次多項式の積に分解される。
係数の違いに注目してください。(A)から(B)は自明です。
$\Omega$係数の既約多項式$p(X)$を取ります。$\Omega^{\prime}=\Omega\lbrack X \rbrack/(p)$を考えると、これは$\Omega$の拡大体であり、$\alpha$を$X$の同値類とすると$p$の根です。
まげ店長
@mathmathniconico
つまりA→Bが自明で、
証明はB→Aが対象だったんですね。
解釈を逆に読んでました。
※表記が難しい。。。
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