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@MageManager
＞　$\Omega$は$K$の拡大体と解釈すると…
の部分はナンセンスです。$\Omega/K$が代数拡大ということは拡大体です

証明中の①②の付け方が上の定義と被っていて混乱しますが、次の二つの同値性が補題の主張です。
(A) $\Omega$係数の多項式が、$\Omega$係数の一次多項式の積に分解される。（代数的に閉じている）
(B) $K$係数の多項式が、$\Omega$係数の一次多項式の積に分解される。
係数の違いに注目してください。(A)から(B)は自明です。

$\Omega$係数の既約多項式$p(X)$を取ります。$\Omega^{\prime}=\Omega\lbrack X \rbrack/(p)$を考えると、これは$\Omega$の拡大体であり、$\alpha$を$X$の同値類とすると$p$の根です。