Conversation

Notices

1. Embed this notice
   まげ店長 (magemanager@mathtod.online)'s status on Monday, 09-Jan-2023 15:01:51 JST まげ店長

   • 表示名

   @mathmathniconico
   #類体論へ至る道
   P186補題 （2校）
   $Ω/K$を代数拡大とする。
   $Ω$が代数的に閉じている…①
   ためには、
   $Ω$がすべての$K$係数多項式の分解体
   となっている…②
   事が必要十分である。

   （証明）
   　$φ:K→Ω$
   　$Ω=K[X]/(p)$
   $p(x)$は$Ω$上で既約な多項式とする。

   $φ$はP183定理12.2より単射であり、
   環の準同型写像$R→R/I$より全射、
   よって同型である。
   　$K\cong Ω$

   ①→②：
   P185例題で用いた補題2,3より明らか。
   補題2
   “$K$上代数的な有限個の元$β_1,…,β_m$
   　を$K$に添加した体は
   　$K$上有限次拡大である。”
   補題3
   “$[L:K] < ∞$であれば、
   　$L$は$K$上代数的である。”

   • Embed this notice
     まげ店長 (magemanager@mathtod.online)'s status on Monday, 09-Jan-2023 15:04:29 JST まげ店長

     in reply to

     #類体論へ至る道
     ①←②：
     $Ω$係数の既約多項式$p(X)$をとり、
     　$Ω’=Ω(X)/(p)$
     を考えると$Ω’$は$Ω$の拡大体であり
     $α$を$X$の同値類とすると$p$の根である。

     $p$の係数たちは$Ω$に属しているが、
     ②より$K$上代数的なので
     全てを合わせた有限次拡大$L$が取れ
     $α$は$L$上代数的、
     よって$K$上代数的となる。

     そこで$K$係数の多項式$q(X)$がとれて
     　$q(α)=0$
     となり、②から
     $K$係数の多項式は$Ω$係数の
     一次多項式の積に分解されるので
     $∴α \in Ω$となり①が示される。
     （証明終）