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   まげ店長 (magemanager@mathtod.online)'s status on Wednesday, 04-Jan-2023 21:43:58 JST まげ店長

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   @mathmathniconico
   #類体論へ至る道
   P185 例題
   $\mathbb{Q}$上代数的な数全体のなす$\overline{\mathbb{Q}}$は代数的に閉じている事を示す。

   （証明）
   $\overline{\mathbb{Q}}$上代数的な元$α$は補題1によって
   $\mathbb{Q}$上でも代数的である。
   よって$α \in \overline{\mathbb{Q}}$
   つまり$\overline{\mathbb{Q}}$は代数的に閉じている。
   （証明終）

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     まげ店長 (magemanager@mathtod.online)'s status on Wednesday, 04-Jan-2023 21:44:59 JST まげ店長

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     #類体論へ至る道
     補題1
     $K\subset M \subset L$を体の昇鎖とする。
     $M$が$K$上代数的で、
     $L$が$M$上代数的ならば、
     $L$は$K$上代数的である。…①

     （証明）
     $α$を$L$の元とすると、$α$は$M$上代数的なので、ある$m$に対して
     　$α^m+β_1α^{m-1}+…+β_m=0$
     を満たす
     　$β_1,…,β_m( \in M)$
     が存在する。

     $M_0=K(β_1,…,β_m)$とおくと
     補題2より$M_0$は$K$上有限次である。
     ゆえに体の拡大次数の連鎖律によって
     $M_0(α)$も$K$上有限次である。
     したがって補題3より
     $K$上代数的である。
     ゆえに
     $α$は$K$上代数的である。
     よって①が示される。
     （証明終）

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     まげ店長 (magemanager@mathtod.online)'s status on Wednesday, 04-Jan-2023 21:45:45 JST まげ店長

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     #類体論へ至る道
     補題2
     $K$上代数的な有限個の元$β_1,…,β_m$
     を$K$に添加した体は
     $K$上有限次拡大である。

     （証明）
     $K_{j+1}=K_j(β_{j+1})$とおく。
     $(K_0=K)$
     各々の$j$に対して
     　$[K_{j+1}:K_j] < ∞$
     なので
     　$[K_m:K]$
     　$=[K_m:K_{m-1}]…[K_1:K]$
     　 $< ∞$
     （証明終）

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     まげ店長 (magemanager@mathtod.online)'s status on Wednesday, 04-Jan-2023 21:46:45 JST まげ店長

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     #類体論へ至る道
     補題3
     $[L:K] < ∞$であれば、
     $L$は$K$上代数的である。…②

     （証明）
     $[L:K]=n$とする。
     $α( \in L)$に対してその冪の集合
     　$\{1,α,α^2,…,α^n\}$
     を考えると
     これは$n+1$個の要素を持っているので
     $K$上1次従属でなければならない。
     したがって
     　$a_0+a_1α+a_2α^2+…$
     　　$+a_nα^n=0$
     を満たす。

     少なくとも一つは$0$でない
     　$a_0,a_1,…,a_n( \in K)$
     が存在する筈なので、これは$α$が
     $K$上代数的であることを示している。
     よって②が示される。
     （証明終）

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     表示名 (mathmathniconico@mathtod.online)'s status on Wednesday, 04-Jan-2023 22:50:07 JST 表示名

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     @MageManager
     一つ補足しておくと、体論では別の体に埋め込んだり、埋め込まれたものを同一視して含むと言ったり、微妙な言い回しが多いです

     これには理由があって、最小分解体にしろ代数的閉包にしろ、自然な取り方が存在しない、という微妙な問題があるからです。体上の同型という奇妙な定義もその延長線上にあります