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#類体論へ至る道
補題1
$K\subset M \subset L$を体の昇鎖とする。
$M$が$K$上代数的で、
$L$が$M$上代数的ならば、
$L$は$K$上代数的である。…①

（証明）
$α$を$L$の元とすると、$α$は$M$上代数的なので、ある$m$に対して
　$α^m+β_1α^{m-1}+…+β_m=0$
を満たす
　$β_1,…,β_m( \in M)$
が存在する。

$M_0=K(β_1,…,β_m)$とおくと
補題2より$M_0$は$K$上有限次である。
ゆえに体の拡大次数の連鎖律によって
$M_0(α)$も$K$上有限次である。
したがって補題3より
$K$上代数的である。
ゆえに
$α$は$K$上代数的である。
よって①が示される。
（証明終）