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   まげ店長 (magemanager@mathtod.online)'s status on Monday, 13-Feb-2023 21:38:50 JST まげ店長

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   @mathmathniconico
   #類体論へ至る道
   P194 問題
   $M/K,L/K$が共にガロア拡大でも
   $L/K$はガロア拡大ではない例を作る。

   $L=\mathbb{Q} ({}^4\sqrt{2}),M=\mathbb{Q}(\sqrt{2}),K=\mathbb{Q} $
   とする。

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     まげ店長 (magemanager@mathtod.online)'s status on Monday, 13-Feb-2023 21:38:49 JST まげ店長

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     #類体論へ至る道
     ③に対して$σ^2$を作用すると
     　$σ^2(a+b({}^4\sqrt{2})+c({}^4\sqrt{2})^2+d({}^4\sqrt{2})^3)$
     $=a-b({}^4\sqrt{2})+c({}^4\sqrt{2})^2-d({}^4\sqrt{2})^3$
     …④
     ③が不変であるには$b=d=0$
     よって元$x$は
     　$x=a+c({}^4\sqrt{2})^2=a+c\sqrt{2}$…⑤
     ⑤に$τσ^2$を作用すると
     　$τσ^2(a+c\sqrt{2})=a+c\sqrt{2}$
     で不変。
     よって$a+c\sqrt{2}$すなわち$\mathbb{Q}(\sqrt{2})$は$<σ^2,τ>$で不変。
     よって$L/M$はガロア拡大。

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     まげ店長 (magemanager@mathtod.online)'s status on Monday, 13-Feb-2023 21:38:49 JST まげ店長

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     #類体論へ至る道
     3)$L/K$を考える。
     $\mathbb{Q}({}^4\sqrt{2})$の元${}^4\sqrt{2}$の最小多項式は
     　$x^4-2=0$
     この方程式の解の一つ${}^4\sqrt{2}i$は$\mathbb{Q}({}^4\sqrt{2})$には含まれない。
     よって$\mathbb{Q}({}^4\sqrt{2})$は正規性が無いので$\mathbb{Q}$のガロア拡大ではない。

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     $\mathscr{N}_{yoho}$ (nyoho@mathtod.online)'s status on Monday, 13-Feb-2023 21:38:49 JST $\mathscr{N}_{yoho}$

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     • かき@GNUsocialJP

     @MageManager 4乗根とかは sqrtに [ 4 ] とオプションを付けるといいですよ!

     $\sqrt[4]{2}$ です。

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     まげ店長 (magemanager@mathtod.online)'s status on Monday, 13-Feb-2023 21:38:50 JST まげ店長

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     #類体論へ至る道
     1)$\mathbb{Q}(\sqrt{2})$を考える。
     $(M/K$のガロア拡大を確認する$)$

     $\sqrt{2}$の最小多項式は
     　$f(x)=x^2-2=0$
     $f(x)$の最小分解体は
     　$\mathbb{Q}(\sqrt{2},-\sqrt{2})$
     体の作り方から
     　$\mathbb{Q}(\sqrt{2},-\sqrt{2})\supset \mathbb{Q}(\sqrt{2})$
     は明らか。一方、
     　$-\sqrt{2}=\sqrt{2}×(-1)\in \mathbb{Q}(\sqrt{2})$
     より
     　$\mathbb{Q}(\sqrt{2},-\sqrt{2})\subset \mathbb{Q}(\sqrt{2})$

     よって
     　$\mathbb{Q}(\sqrt{2},-\sqrt{2})= \mathbb{Q}(\sqrt{2})$
     よって$M/K$はガロア拡大

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     まげ店長 (magemanager@mathtod.online)'s status on Monday, 13-Feb-2023 21:38:50 JST まげ店長

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     #類体論へ至る道
     2)$\mathbb{Q}({}^4\sqrt{2})$を考える。
     $(L/M$のガロア拡大を確認する$)$

     ${}^4\sqrt{2}$の最小多項式は
     　$f(x)=x^4-2=0$
     　$x^4-2=(x-{}^4\sqrt{2})(x+{}^4\sqrt{2})$
     　$(x-{}^4\sqrt{2}i)(x+{}^4\sqrt{2}i)$
     最小分解体は
     　$\mathbb{Q}({}^4\sqrt{2}),-^4\sqrt{2},{}^4\sqrt{2}i,-{}^4\sqrt{2}i)$
     　$=\mathbb{Q}({}^4\sqrt{2},i)$

     $\mathbb{Q}({}^4\sqrt{2},i)$に作用する同型写像$σ,τ$を
     　$σ({}^4\sqrt{2})={}^4\sqrt{2}i,σ(i)=i$
     　$τ({}^4\sqrt{2})={}^4\sqrt{2},σ(i)=-i$
     とする。

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     まげ店長 (magemanager@mathtod.online)'s status on Monday, 13-Feb-2023 21:38:50 JST まげ店長

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     #類体論へ至る道
     $\mathbb{Q}({}^4\sqrt{2},i)$の元$x$が
     $x=a+b({}^4\sqrt{2})+c({}^4\sqrt{2})^2+d({}^4\sqrt{2})^3$
     $+ei+f({}^4\sqrt{2})i+g({}^4\sqrt{2})^2i+h({}^4\sqrt{2})^3i$
     $(a〜h\in \mathbb{Q})$
     …①

     $τ$を作用すると
     $τ(x)=a+b({}^4\sqrt{2})+c({}^4\sqrt{2})^2+d({}^4\sqrt{2})^3$
     $-ei-f({}^4\sqrt{2})i-g({}^4\sqrt{2})^2i-h({}^4\sqrt{2})^3i$
     …②
     で$τ(x)=x$になるには①=②なので
     　$e=f=g=h=0$
     よって①の元$x$は
     　$x=a+b({}^4\sqrt{2})+c({}^4\sqrt{2})^2+d({}^4\sqrt{2})^3$
     …③