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#類体論へ至る道
1)$\mathbb{Q}(\sqrt{2})$を考える。
$(M/K$のガロア拡大を確認する$)$

$\sqrt{2}$の最小多項式は
　$f(x)=x^2-2=0$
$f(x)$の最小分解体は
　$\mathbb{Q}(\sqrt{2},-\sqrt{2})$
体の作り方から
　$\mathbb{Q}(\sqrt{2},-\sqrt{2})\supset \mathbb{Q}(\sqrt{2})$
は明らか。一方、
　$-\sqrt{2}=\sqrt{2}×(-1)\in \mathbb{Q}(\sqrt{2})$
より
　$\mathbb{Q}(\sqrt{2},-\sqrt{2})\subset \mathbb{Q}(\sqrt{2})$

よって
　$\mathbb{Q}(\sqrt{2},-\sqrt{2})= \mathbb{Q}(\sqrt{2})$
よって$M/K$はガロア拡大