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#類体論へ至る道
③に対して$σ^2$を作用すると
　$σ^2(a+b({}^4\sqrt{2})+c({}^4\sqrt{2})^2+d({}^4\sqrt{2})^3)$
$=a-b({}^4\sqrt{2})+c({}^4\sqrt{2})^2-d({}^4\sqrt{2})^3$
…④
③が不変であるには$b=d=0$
よって元$x$は
　$x=a+c({}^4\sqrt{2})^2=a+c\sqrt{2}$…⑤
⑤に$τσ^2$を作用すると
　$τσ^2(a+c\sqrt{2})=a+c\sqrt{2}$
で不変。
よって$a+c\sqrt{2}$すなわち$\mathbb{Q}(\sqrt{2})$は$<σ^2,τ>$で不変。
よって$L/M$はガロア拡大。