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   $\mathscr{N}_{yoho}$ (nyoho@mathtod.online)'s status on Tuesday, 24-Oct-2023 03:19:37 JST $\mathscr{N}_{yoho}$

   • かき@GNUsocialJP

   を送れば $x$ から $(f_\alpha(x), \alpha) \in \kappa \times \kappa$ への写像が定義できると思ったんです。そうするとこの写像は単射ですし、選択公理を使っていないような気がするんです。

   ひょっとしてどこか $A_x$ を作るところとかに人知れず選択公理を使ってしまっているんでしょうか。

   また本の記述は、 $\mathcal{P}(\bigcup_{\alpha<\kappa}X_\alpha \times \kappa)$ に

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     $\mathscr{N}_{yoho}$ (nyoho@mathtod.online)'s status on Tuesday, 24-Oct-2023 03:19:37 JST $\mathscr{N}_{yoho}$

     in reply to

     • かき@GNUsocialJP

     整列順序を入れてその写像を作ってねってことだったので、たぶん $f_\alpha \subset X_\alpha \times \kappa$ が部分集合だから、$x$ を持っている $X_\alpha$ たちの添え字 $\alpha$ たちから決まる $f_\alpha$ たち、の最小限を取って同じように $(f_\alpha(x),\alpha)$ に送れということなんだろうと解釈しています。

     しかし僕が最初に考えた方法では、このパワーセットを整列させているのではなくて、初めから整列している順序数 $\kappa$ を使っているので、ACいらずなのではないかと思ったんです。

     「いやあんたの方法も AC 使うとるがな」など、ツッコミ是非ともお願いいたします🙏

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     ジタさん (selbstdenker@mathtod.online)'s status on Tuesday, 24-Oct-2023 03:58:45 JST ジタさん

     in reply to

     @Nyoho それ、昔々に大学院生に聞かれたことがあります。どこでAC使うてるねん、って。答えは、最初の設定の段階ですでに使い終わっている、です。\(f_\alpha\) には一般に無数の選択肢があるはずで、ヒントではそれがすでにfixされています。\(X_\alpha\) から \(\kappa\) への単射を、すべての \(\alpha\) についていっせいに選ぶところで選択公理がどうしても必要なので、それ以降の、如法さんが考察している部分は、選択公理を用いないでできます。

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     $\mathscr{N}_{yoho}$ (nyoho@mathtod.online)'s status on Tuesday, 24-Oct-2023 09:35:17 JST $\mathscr{N}_{yoho}$

     in reply to

     • かき@GNUsocialJP
     • ジタさん

     @selbstdenker ありがとうございます! なるほど、一つの $\alpha$ で濃度の大小から単射 $f_\alpha$ を取るだけなら要らないけど、それをすべての $\alpha$ で一斉にやるところに選択公理を使っていると! まだまだ修行が足りませんね。

     しかし、この質問ができたことは、集合論を勉強している大学院生のレベルにかすったりできているかも知れません! (ポジティブ)

     いろいろ考えて $\{ \alpha \mid x\in X_\alpha\}$ のように、$x$ が入っている $X_\alpha$ の添え字 $\alpha$ をかき集めているところがあやしいのかなあ〜でもこれは内包の公理でかき集められる気がするなあ〜と思ったりしていました。もっと前だったとは!
     感謝です。