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整列順序を入れてその写像を作ってねってことだったので、たぶん $f_\alpha \subset X_\alpha \times \kappa$ が部分集合だから、$x$ を持っている $X_\alpha$ たちの添え字 $\alpha$ たちから決まる $f_\alpha$ たち、の最小限を取って同じように $(f_\alpha(x),\alpha)$ に送れということなんだろうと解釈しています。

しかし僕が最初に考えた方法では、このパワーセットを整列させているのではなくて、初めから整列している順序数 $\kappa$ を使っているので、ACいらずなのではないかと思ったんです。

「いやあんたの方法も AC 使うとるがな」など、ツッコミ是非ともお願いいたします🙏