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@selbstdenker ありがとうございます! なるほど、一つの $\alpha$ で濃度の大小から単射 $f_\alpha$ を取るだけなら要らないけど、それをすべての $\alpha$ で一斉にやるところに選択公理を使っていると! まだまだ修行が足りませんね。

しかし、この質問ができたことは、集合論を勉強している大学院生のレベルにかすったりできているかも知れません! (ポジティブ)

いろいろ考えて $\{ \alpha \mid x\in X_\alpha\}$ のように、$x$ が入っている $X_\alpha$ の添え字 $\alpha$ をかき集めているところがあやしいのかなあ〜でもこれは内包の公理でかき集められる気がするなあ〜と思ったりしていました。もっと前だったとは!
感謝です。