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を送れば $x$ から $(f_\alpha(x), \alpha) \in \kappa \times \kappa$ への写像が定義できると思ったんです。そうするとこの写像は単射ですし、選択公理を使っていないような気がするんです。

ひょっとしてどこか $A_x$ を作るところとかに人知れず選択公理を使ってしまっているんでしょうか。

また本の記述は、 $\mathcal{P}(\bigcup_{\alpha<\kappa}X_\alpha \times \kappa)$ に