【緩募】
斜辺と隣辺の比の値が有限小数で、弧度法で表した鋭角も有限小数となるような直角三角形を探しています。存在しないことの証明もできなくてモヤモヤしてます。
ただし有限小数には整数も含む。
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B̅ (cmplstofb@mathtod.online)'s status on Monday, 15-May-2023 22:10:29 JST B̅
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B̅ (cmplstofb@mathtod.online)'s status on Monday, 15-May-2023 22:11:33 JST B̅
ちなみにこいつが存在すると、ある種の図形がSVGでめちゃくちゃ綺麗に描けるようになる、というか、ことになる。
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B̅ (cmplstofb@mathtod.online)'s status on Monday, 15-May-2023 22:35:12 JST B̅
除数が\(2^n \times 5^m\)の形じゃないとどうあがいても無理で,逆に除数が\(2^n \times 5^m\)の形なら商は有限小数なんよね。
だからとりあえず\(2^n \times 5^m\)という形の隣辺を持つピタゴラス数の組を求めて,そいつらの余弦を求めるところまではまあいいとして,そいつをπで割ったやつが有限小数かどうかを解析的に調べる方法が分からん。 -
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Masaki Hara (qnighy@qnmd.info)'s status on Tuesday, 16-May-2023 15:39:11 JST Masaki Hara
@cmplstofB 一般性を失わず (a, b, c) を原始ピタゴラス数ととれます。このときいずれか2つが共通素因数をもつなら残り1つも同じ素因数を持ってしまうため、どの2数も互いに素です。したがってc/a, c/bに対する制約からaとbは素因数として2と5のみを持ちえます。
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Masaki Hara (qnighy@qnmd.info)'s status on Tuesday, 16-May-2023 15:39:11 JST Masaki Hara
@cmplstofB aとbが互いに素であることをからaが2冪でbが5冪、またはその逆とわかります。ここでは前者とします。
このとき原始ピタゴラス数の生成式から (a, b, c) = (2nm, m^2-n^2, m^2+n^2) とあらわせます。 (偶奇性からこの向きで確定する) -
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Masaki Hara (qnighy@qnmd.info)'s status on Tuesday, 16-May-2023 15:39:11 JST Masaki Hara
@cmplstofB b=(m-n)(m+n) より m-nとm+nは5冪です。もしm-nが5以上ならばm, nともに5の倍数となりますが、これはm, nの取り方に反します。したがってm-n=1です。
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Masaki Hara (qnighy@qnmd.info)'s status on Tuesday, 16-May-2023 15:39:11 JST Masaki Hara
@cmplstofB a=2mnよりm, nは2冪ですが、m-n=1よりm=2, n=1しかありえません。これは(4, 3, 5)を生成しますがこの組は条件を満たしません。
したがって正割と余割がいずれも10進小数になるような非自明な角度は存在しないかと思います。 -
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B̅ (cmplstofb@mathtod.online)'s status on Tuesday, 16-May-2023 15:40:28 JST B̅
@qnighy
なるほど,ピタゴラス数を絞る段階で,だいぶ制限を掛けれる(というか実質的にここで議論が終了する)んですね……。条件を満たすピタゴラス数をかなり大雑把に計算してまして,その次梯にあたる鋭角の条件判定に苦労してました……。
解説ありがとうございました!
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