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   表示名 (mathmathniconico@mathtod.online)'s status on Sunday, 26-Feb-2023 14:27:20 JST 表示名

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   • まげ店長

   @MageManager
   定理7.8を暗に用いてることはチェックしておきましょう

   二種類の原始元とその共役元により、$mn$個の$\sigma_{ij}\colon L\to\overline{K}$が作れます。$L/K$はガロア拡大なので$L$上の自己同型となりまるが、特に$\sigma_{1j}$は$M$を不変にする$n$個なので$L/M$もまたガロア拡大となります。一方で下側の拡大$M/K$はガロア拡大になるとは限りません

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     まげ店長 (magemanager@mathtod.online)'s status on Sunday, 26-Feb-2023 14:27:21 JST まげ店長

     in reply to

     #類体論へ至る道
     ここで$L$は$K$の最小分解体であり、
     $K$のガロア拡大体なので同型写像は
     全て自己同型写像。

     よって$mn$個の同型写像$σ_{ij}$は
     $L$の自己同型写像
     　$G(L/K)=\{σ_{11},…,σ_{1n},$
     　$σ_{21},…,σ_{2n},$
     　$…$
     　$σ_{m1},…,σ_{mn}\}$

     $G(L/M)$は、このうち$M=K(α)$の
     全ての元を不変にするものである。
     $σ_{1i}(α)=α$であり、$j\neq 1$のとき
     　$σ_{ji}(α)=α_j \neq α$

     $σ_{1i}(α)=α$であれば
     　$M=K(α)$
     のすべての元を不変にするので
     　$G(L/M)=\{σ_{11},σ_{12},…,σ_{1n}\}$

     よって
     　$G(L/M)=\{σ\in G(L,K)|$
     　$σx=x(∀x \in M)\}$
     （証明終）

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     まげ店長 (magemanager@mathtod.online)'s status on Sunday, 26-Feb-2023 14:27:25 JST まげ店長

     @mathmathniconico
     #類体論へ至る道
     P195 問題（3）
     体$M$がガロア拡大$L/K$の
     中間体であれば
     $L/M$もガロア拡大で、
     そのガロア群は$G$の元で$M$の
     各元を動かさないものの全体。
     　$G(L/M)=\{σ\in G(L,K)|$
     　$σx=x(∀x \in M)\}$

     （証明）
     $M$に対して$K$上の$m$次最小多項式$f(x)$を作り、$f(x)=0$の解$α$に
     よって$M=K(α)$と表す事が出来る。
     $f(x)=0$の解を
     　$α=α_1,…,α_m$
     とする。

     また$M=K(α)$上の$n$次最小多項式$g(x)$を作り、$g(x)=0$の解$β$によって
     　$L=M(β)=K(α,β)$
     と表す事が出来る。
     $g(x)=0$の解を
     　$β=β_1,…,β_n$
     とする。

     $L$に作用する同型写像は$mn$個あり、
     それらは
     　$σ_{ij}(α)=α_i$
     　$σ_{ij}(β)=β_j$
     　$(1 ≦ i ≦ m,1 ≦ j ≦ n)$
     で定められる。