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   表示名 (mathmathniconico@mathtod.online)'s status on Monday, 27-Feb-2023 01:13:10 JST 表示名

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   • まげ店長

   @MageManager
   $\tau$が$L^{H}$を固定しないことはどうやって示しますか？
   例えば$\tau$として$\rm{id}$を取ると固定してしまうので、どのような$\tau$を取ればいいかの議論が足りません

   $G(L/K)=G(L/L^{H})$から考えます。

   まず左辺は$\lbrack L : K \rbrack$個あります。これは$L=K(\alpha)$として$\alpha$の行き先で自己同型写像が決まるため、$\alpha$の共役元の個数、すなわち$\alpha$の最小多項式の根の個数、つまり$L/K$の拡大次数$\lbrack L : K \rbrack$分だけ同型写像があります。右辺も同様に$\lbrack L : L^{H} \rbrack$です。（教科書間違ってますね）

   従って$K\subset L^{H}\subset L$より$L^{H}=K$です。

   →の議論は、部分群の元で動かない何かを作ってその性質を見るという良くあるパターンです

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     まげ店長 (magemanager@mathtod.online)'s status on Monday, 27-Feb-2023 01:13:11 JST まげ店長

     @mathmathniconico
     #類体論へ至る道
     P196補題
     $L/K$をガロア拡大とする。
     また$L$の自己同型写像の全体となす群を
     $Aut(L)$とする。
     $Aut(L)$の部分群$H$に対して
     　$L^H=K⇔H=G(L/K)$
     $(L^H=\{x( \in L)|τx=x(∀τ \in H)\})$
     $L^H$を固定体という。

     （証明）
     ←：
     $H=G(L/K)$とする。…①
     ガロア拡大$L/K$の$K$自己同型写像全体
     $G(L/K)$のなす群を$L/K$のガロア群と呼ぶので
     　$K\subseteq L^H$

     $H$は$L^H$の元を動かさないので
     　$H\subset G(L/L^H)\subset G(L/K)$…②
     ①②より
     　$G(L/K)=G(L/L^H)$
     　$L^H=K$
     また
     　$|G(L/L^H)|=[L^H:K]$
     なので
     　$L^H=K$