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@MageManager
$\tau$が$L^{H}$を固定しないことはどうやって示しますか？
例えば$\tau$として$\rm{id}$を取ると固定してしまうので、どのような$\tau$を取ればいいかの議論が足りません

$G(L/K)=G(L/L^{H})$から考えます。

まず左辺は$\lbrack L : K \rbrack$個あります。これは$L=K(\alpha)$として$\alpha$の行き先で自己同型写像が決まるため、$\alpha$の共役元の個数、すなわち$\alpha$の最小多項式の根の個数、つまり$L/K$の拡大次数$\lbrack L : K \rbrack$分だけ同型写像があります。右辺も同様に$\lbrack L : L^{H} \rbrack$です。（教科書間違ってますね）

従って$K\subset L^{H}\subset L$より$L^{H}=K$です。

→の議論は、部分群の元で動かない何かを作ってその性質を見るという良くあるパターンです