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#類体論へ至る道
$1 \in \mathfrak{C}$と仮定すると
　$1 \in \mathfrak{B}$
なる
　$\mathfrak{B} \in Y$
が存在することになって矛盾するから
　$1\not \in \mathfrak{C}$
である。
つまり$\mathfrak{C}$は$R$の固有イデアルである。
$∴\mathfrak{C} \in X$
しかも任意の$\mathfrak{B} \in Y$に対して
　$\mathfrak{B}\subset \mathfrak{C}$
が成り立つ。

すなわち$\mathfrak{C}$は$Y$の上界である。
故に$X$は帰納的順序集合である。
したがってツォルンの補題によって
$X$は極大元を有する筈である。
それを$\mathfrak{M}$とする。
$\mathfrak{M}$は明らかに求める性質を持つ
固有のイデアルである。
（証明終）