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#類体論へ至る道
$a,b \in \mathfrak{C}$ならば和集合の定義によって
　$a \in \mathfrak{B}_1,b \in \mathfrak{B}_2 \in Y$
が存在する。
$Y$は包含関係に関する
全順序集合なので、例えば
　$\mathfrak{B}_1\subset \mathfrak{B}_2$
と仮定して良い。
つまり$a,b \in \mathfrak{B}_2$である。
$\mathfrak{B}_2$はイデアルなので
　$a+b \in \mathfrak{B}_2\subset \mathfrak{C}$
　$ra \in \mathfrak{B}_2\subset \mathfrak{C}$
　$(∀r \in R)$
が成り立つ。
よって$\mathfrak{C}$はイデアル。