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#類体論へ至る道
補題1より$\mathfrak{A}$が固有のイデアルを成すこと$(\mathfrak{A}\neq R)$が示される。
よって補題2より$\mathfrak{A}\subset \mathfrak{M}$なる極大イデアル$\mathfrak{M}$が存在する。
すると商環$Ω=R/\mathfrak{M}$は体である。
$a\in K$に対して
　$\overline{a}=a+\mathfrak{M}$
を対応させる事によって$Ω$は$K$と同型な部分体を含んでいる事が分かるので、これを$K$と同一視すれば、$K \subset Ω$とみなす事が出来る。

$Ω$内で$X_j^{(λ)}$の属する類$\overline{X_j^{(λ)}}$を$θ_j^{(λ)}$と書くと、$y_i^{(λ)}\in \mathfrak{A}$なので、
$Ω[X]$では補題2より①にて
多項式環で生成されるイデアルによる商環の多項式は零点を持つので
　$∴G_λ(X)=0$
　$∴F_λ(X)=Π_{j=1}^{n(λ)}(X-θ_j^{(λ)})$
となる。