O #OpenStreetMap NÃO É um aplicativo. É uma base de dados. Você não vai ter uma interface amigável para seu smartphone utilizando só a página oficial do OSM.
Um aplicativo que uso há muito tempo é o Osmand. Permite busca por locais, criação de rotas, gravação de trilhas e várias outras funções habituais para quem usa um aplicativo de geolocalização. Também permite download de regiões específicas do planeta pra uso off-line.
Disponível pra Android e iOS: https://osmand.net/