@nasukoB
なぜ洗濯ネットに入れて洗うのかを説明しますね
「ちなみに、グレーじみてくるのはもっぱらタオルで、衣類についてはそうでもない」
とのことから、タオルの繊維に他の洗濯物の細かい繊維くずが付着してグレーっぽく見えるのではないかと推測しました、特にドラム式を使っているのであれば乾燥機能も使うでしょうからカビとは考えられません
タオルだけがグレーっぽくなるのは汚れを吸い取りやすいからだと思います
自身は縦型洗濯機のユーザーですがタオルは他のものと洗うとホコリっぽくなりやすいことで悩みました、屑取りネットを増やすといいときいてやってみたものの思ったほどの効果はなくて、フロート型の屑取りネットが洗濯槽にぶつかる音がうるさいのも嫌でした
試行錯誤の結果、予洗いと洗濯ネットの使用にたどり着いてホコリっぽさはなくなりました、参考になれば幸いです
なお過炭酸ナトリウムや洗濯ネットはこだわらなければ100均アイテムがお手頃です