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$\theta=\frac{p}{q}\pi$が$\cos{\theta}=\frac{a}{c}, \sin{\theta}=\frac{b}{c}$を満たすとする。（互いに素）

$z=e^{i\theta}=\cos{\theta}+i\sin{\theta}$について$z^{2q}=e^{2p\pi}=1$より$z$は$f(X)=X^{2q}-1$の根。
\[ f(z)=\cos^{2q}{\theta}+\dotsb+i(\dotsb)=0 \]
の実部だけ見ると、$\sin^{2}=1-\cos^{2}$より整数係数多項式となる。

最高次係数を計算して有理根定理を使えばある程度条件が絞れそう