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前にも似たようなこと思ったんだよな
https://arxiv.hatenablog.com/entry/2019/04/16/200000

$A=Z$代数$B=Z, C=Z/2$と$I=2Z$について
包含$2Z\to Z$から誘導される$2Z\otimes Z/2\to Z\otimes Z/2$が単射じゃないのでダメなはず

でもなんかそう書いてる本は多いので間違って伝わってるのかも。恐らく$A$が体だったら単射なのでいいんだけど